Función Zeta de Riemann

Definición

La función zeta de Riemann ζ(s) está definida, para valores complejos con parte real mayor que uno, por la serie de Dirichlet:

En la región {s ∈ C | Re(s) > 1}, esta serie infinita converge y define una función que es analítica en esta región. Riemann observó que la función zeta puede extenderse de manera única por continuación analítica a una función meromorfa en todo el plano complejo con un único polo en s = 1. Esta es la función que se considera en la hipótesis de Riemann.

Para los complejos con Re(s)<1, los valores de la función deben ser calculados mediante su ecuación funcional, obtenida a partir de la continuación analítica de la función.

Relación con los números primos

La conexión entre esta función y los números primos fue observada por primera vez por Leonhard Euler, que se dio cuenta de que: 

Puesto que para cada primo p,

es una serie geométrica, convergente para cualquier número complejo s con Re(s) > 1 a:

se obtiene que: 

donde el producto infinito es sobre todos los números primos y s un número complejo con Re(s) > 1. Esta expresión es llamada producto de Euler, en honor a su descubridor. La fórmula es consecuencia de dos resultados simples pero fundamentales en Matemática: la fórmula para las series geométricas y el teorema fundamental de la aritmética.

Una clave para comprender la importancia de la Hipótesis de Riemann:

Fuente: Wikipedia